【小学数学一题多解系列】几何计算题

　　例116 有两个完全相同的长方体恰好拼成了一个正方体，正方体的表面积是30平方厘米.如果把这两个长方体改拼成一个大长方体，那么大长方体的表面积是多少？

　　（北京市西城区）

　　【分析1】因为正方体有6个相等的面，所以每个面的面积是30÷6=5平方厘米.拼成一个大长方体要减少一个面的面积，同时增加两个面的面积.由此可求大长方体的表面积.

　　【解法1】30-30÷6+30÷6×2

　　=30-5+10=35（平方厘米）.

　　或： 30+30÷6×（2-1）

　　=30+5=35（平方厘米）.

　　【分析2】因为拼成大长方体后，表面积先减少一个面的面积，同时又增加两个面的面积，实际上增加了一个面的面积.

　　【解法2】 30+30÷6=30+5=35（平方厘米）.

　　【分析3】把原来正方体的表面积看作“1”.先求出增加的一个面是原来正方体表面积的几分之几，再运用分数乘法应用题的解法求大长方体的表面积.

　　【分析4】因为原来正方体的表面积是6个小正方形面积的和，拼成大长方体的表面积是7个小正方形面积的和，所以可先求每个小正方形的面积，再求7个小正方形的面积.

　　【解法4】30÷6×（6+1）

　　=30÷6×7=35（平方厘米）.

　　答：大长方体的表面积是35平方厘米.

　　【评注】比较以上四种解法，解法2和解法3是本题较好的解法.

　　例117 大正方体棱长是小正方体棱长的2倍，大正方体体积比小正方体的体积多21立方分米，小正方体的体积是多少？

　　（北京市东城区）

　　【分析1】把小正方体的体积看作“1倍”，那么大正方体的体积是小正方体的2×2×2=8（倍），比小正方体多8-1=7（倍）.由此本题可解.

　　【解法1】21÷（2×2×2-1）

　　=21÷7=3（立方分米）.

　　【分析2】把小正方体的棱长看作“ 1”，那么大正方体棱长就是2.

　　【分析3】先求出大、小正方体的体积比，再求21立方分米的对应份数，最后求出每份的体积即小正方体的体积.

　　【解法3】大、小正方体的体积比？

　　（2×2×2）∶（1×1×1）=8∶1

　　小正方体的体积是多少立方分米？

　　21÷（8-1）=3（立方分米）

　　答：小正方体的体积是3立方分米.

　　【评注】解法1的思路简单，运算简便.

　　例118 一个圆锥形麦堆，底面周长是25.12米，高是3米.把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内正好装满，这个圆柱形粮囤的高是多少米？（天津市和平区）

　　【分析1】由题意可知，麦堆的体积等于圆柱粮囤的体积.所以先求出麦堆的体积，再除以圆柱粮囤的底面积，即得粮囤的高。

　　【解法1】麦堆的底面半径是多少？

　　25.12÷3.14÷2=4（米）

　　麦堆的体积是多少立方米？

　　圆柱粮囤的高是多少米？

　　综合算式：

　　【分析2】根据麦堆的体积和圆柱粮囤体积相等列方程解.

　　【解法2】设圆柱粮囤高是h米.

　　体积，而这个圆柱与粮囤的体积相等，即积一定，根据圆柱体积=πr²h可知，圆柱高h与半径的平方r²成反比例.由此列方程解.

　　【解法3】设圆柱粮囤高为h米.

　　麦堆底半径：25.12÷3.14÷2=4（米）

　　粮囤底半径：4÷2=2（米）

　　16=4h

　　h＝4

　　答：这个圆柱形粮国的高是4米.

　　【评注】解法3的思路最简单、最灵活，运算最简便，是本题的最佳解法.

　　例119 一个圆锥体的体积是36立方分米，高是9分米，比与它等底的圆柱体的体积小12立方分米，这个圆柱体的高是多少分米？（天津市河西区）

　　【分析1】先求圆锥的底面积即圆柱的底面积，再求圆柱体积，最后求圆柱的高.

　　【解法1】圆柱底面积是多少？

　　36×3÷9=12（平方分米）

　　圆柱的体积是多少？

　　36+12=48（立方分米）

　　圆柱的高是多少？

　　48÷12=4（分米）

　　综合算式：（36+12）÷（36×3÷9）

　　=48÷12=4（分米）.

　　【分析2】如果设圆柱高为h，那么它相当于高为3h的等底圆锥，而这的高与圆锥的体积成正比例.

　　【解法2】设圆柱体的高是h分米.

　　（36+12）∶3h=36∶9

　　答：这个圆柱体的高是4分米。

　　【评注】解法2的思路简单明白，运算最为简便，是本题的较好解法.本题还可用方程解，读者试解一下.

　　例120 如下图，求阴影部分的面积（单位：厘米）.

　　（湖北省武汉市）

　　【分析1】从图中条件可知，三角形为等腰直角三角形，所以两个锐角都是45°.因此用三角形的面积分别减去三个扇形的面积，即得阴影面积.

　　【解法1】（10+10）×（10+10）÷2　　

　　=20×20÷2-3.14×25-3.14×25

　　=200-78.5-78.5=43（平方米）

　　【分析2】因为三个空白扇形恰好拼成180°的扇形，所以用三角形的面积减去圆心角是180°的扇形面积，即得阴影部分的面积.

　　【解法2】（10+10）×（10+10）÷2

　　=20×20÷2-3.14×10×10÷2

　　=200-157=43（平方厘米）.

　　【分析3】同分析2.用三角形的面积减去半圆的面积，即得阴影部分的面积.

　　【解法3】（10×2）×（10×2）÷2-3.14×10×10÷2

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