50.探 索 法
就是多方寻求^答~`案，解决疑难。
51.观 察 法
数学知识是通过数、式、形三方面的内容，体现客观事物和空间形式相互间数量关系的。这常常需要观察。
例1 计算下组算式的(1)、(2)、(3)，类推出(4)的结果。
(1)1＋1×8
(2)2＋12×8
(3)3＋123×8
(4)4＋1234×8
仔细观察算式间的联系，
第一个加数，逐次增加1；第二个加数逐次增加11，111， 1111，……而乘数都是8，即第二个加数中两个数的乘积，逐次多11个8，111个8，……；(1)式，(2)式，(3)式，……的结果逐次增加 89，889，8889，……
由式(3)的结果9＋89＋889＝987，知
式(4)为 987＋8889＝9876。
例2 观察
不难发现：自然数从1开始，累加到任何一个自然数，其和除以下一个
是偶数，商是小数，是奇数时，商是整数。
如：(1＋2＋3＋…＋1000＋1001)
例3 由11＋1.1＝11×1.1，
知其积等于其和。
特点：第一个加数是整数。第二个加数是带分数，整数部分是1，分数部分的分子是1，分母比第一个加数少1。
例4 观察分析
…………
会产生一个直觉：如果a与b是互质数(且a＞b)，那么a±b与ab是互质数。
此结论成立的话，两个分子是1，分母是互质数的分数相加减，所得结果岂不是不必考虑约分了吗？
用反证法证明：
若a±b与ab不互质，而有因子d的话，设a±b＝cd，ab＝ed。
则由ab＝ed，d为素数可知，或d｜a，或d｜b。
若d｜a，则由a±b＝cd，可知必有d｜b，这与ab是互质数矛盾。
同理，若d｜b，也有矛盾，所以a±b与ab互质。
52.猜测与证明
美国数学家G·玻利亚在《数学与似真推理》一书中写道：“人们对数学事实总是首先猜测，然后才加以证明。”
例1 3×4＝12
它的积是由1和2依顺序排列的数。
由33×34＝1122
333×334＝111222
n个 n个 n个 n个
为方便起见，在后面的n位数乘以n位数等于2n位数的乘法中，用省略号连在一起的n个数字不再标n个了，它们的个数同上式一样。
证明：
令S＝11…1，
则S＝10n－1＋10n－2＋…＋10＋1，
10S＝10n＋10n－1＋…＋102＋10，
9S＝10S－S＝10n－1，
由此得
故33…3×33…4＝11…122…2，
进而可得33…3×33…5
＝33…3×(33…34＋1)
＝11…122…2＋33…3
＝11…155…5。
例2 abcd各不相同，表示一个四位数。问各是什么数时，能同时被2、3、5整除？
智力好的学生，总是经过一番尝试和猜测后，就力图寻求一般规律，不遗漏地写出符合要求的全部四位数。符合题意的数是，各位上的数字和一定能被3整除，且个位数字是0。
如果a、b、c分别取1、2、3作为一组的话，有1230、1320、2130、 2310、3120、3210。
这样的数组有：
1、2、3 1、2、6 1、2、9
1、3、5 1、3、8 1、4、7
1、5、6 1、5、9 1、6、8
1、8、9 2、3、4 2、3、7
2、4、6 2、4、9 2、5、8
2、6、7 2、7、9 3、4、5
3、8、4 3、5、7 3、6、9
4、5、9 4、6、8 5、6、7
5、7、9 6、7、8 7、8、9
符合题意的全部四位数是，
6×27＝162(个)
例3 证明：任意10个连续的自然数一定能找出4个a、b、c、d，使(a－b)×(c－d)能被56整除。若使(a－b)×(c－d)能被56整除，只要a－b能被8(或7)整除，c－d能被7(或8)整除。
在10个连续自然数中，必有两数的差为8，其余8个数中必有两数的差为7。
设10个连续自然数为：
n、n＋1、n＋2、…、n＋9，
则(n＋8)－n＝8，
(n＋9)－(n＋2)＝7。
这里 a＝n＋8，
b＝n，
c＝n＋9，
d＝n＋2，
或 a＝n＋9，
b＝n＋2，
c＝n＋8，
d＝n。
或者(n＋9)－(n＋1)＝8，
(n＋7)－n＝7。
这里a＝n＋9，
b＝n＋1，
c=n＋7，d=n，
或 a=n＋7， b=n，
c=n＋9，d=n＋1。
例4 任意连续4n个自然数的和除以2的商是第一个数与最后一个数和的n倍。
证明：设任意的连续自然数m，m＋1，m＋2，……
当n＝1时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋(m＋3)＝4m＋6，所以
＝2m＋3＝［m＋(m＋3)］×1。
当n＝2时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×2－1)＝8m＋(1＋2＋…＋7)＝8m＋28。所以
＝4m＋14＝［m＋(m＋7)］×2。
当m＝3时，因为m＋(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋4×3－1)＝12m＋(1＋2＋…＋11)＝12m＋66。所以
